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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.4.
Dadas las siguientes funciones definidas por , indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
d)
d)
Respuesta
Ojo acá con este ejercicio que viene con trampa. Vamos a estudiar la función .
Reportar problema
En este caso fijate que el dominio de es y nosotros estamos considerando el intervalo ... es decir, que nuestra función no es continua en este intervalo! Por lo tanto, acá nada de Teorema de Weierstrass, no podemos asegurar la existencia de máximo y mínimo absoluto!
Encaramos este análisis más parecido a como hacíamos en estudio de funciones:
Veamos primero qué pasa en y , si nuestra tiene ahí asíntotas verticales:
Para
Para
Es decir, tiene asíntotas verticales en y
Derivamos e igualamos la derivada a cero para buscar puntos críticos:
Igualamos a cero y despejamos:
Por lo tanto, tiene un punto crítico en
Y ahora ojo acá. Como el Teorema de Weierstrass en este ejercicio, no podemos hacer lo que veníamos haciendo de evaluar el punto crítico y los extremos del intervalo en , porque nada nos asegura la existencia de máximo y mínimo absoluto... De hecho, no lo va a haber no? Porque la función en las asíntotas verticales se está disparando hacia y , lo ves?
Dividimos la recta real en intervalos donde es continua y no tiene raices, y evaluamos el signo de en cada una:
a) : es positiva, por lo tanto es creciente
b) : es positiva, por lo tanto es creciente
c) : es negativa, por lo tanto es decreciente
d) : es negativa, por lo tanto es decreciente
Por el comportamiento de , podemos ver que nuestro punto crítico es un máximo, pero es un máximo relativo (porque la función puede llegar a valer muuuucho más que lo que vale en ese punto)