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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

4.4. Dadas las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x), indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
d) f(x)=2x21,x[2,3]f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}, x \in[-2,3]

Respuesta

Ojo acá con este ejercicio que viene con trampa. Vamos a estudiar la función f(x)=2x21,x[2,3]f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}, x \in[-2,3].

En este caso fijate que el dominio de ff es R{1,1}\mathbb{R} - \{-1,1\} y nosotros estamos considerando el intervalo [2,3][-2,3]... es decir, que nuestra función no es continua en este intervalo! Por lo tanto, acá nada de Teorema de Weierstrass, no podemos asegurar la existencia de máximo y mínimo absoluto! 

Encaramos este análisis más parecido a como hacíamos en estudio de funciones:

1)\textbf{1)} Veamos primero qué pasa en 1-1 y 11, si nuestra ff tiene ahí asíntotas verticales:

Para x=1x=-1

limx1+2x21= \lim_{x \to -1^+} \frac{2}{x^{2}-1} = -\infty limx12x21=+ \lim_{x \to -1^-} \frac{2}{x^{2}-1} = +\infty Para x=1x=1 limx1+2x21=+ \lim_{x \to 1^+} \frac{2}{x^{2}-1} = +\infty limx12x21= \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{x^{2}-1} = -\infty

Es decir, ff tiene asíntotas verticales en x=1x=1 y x=1x = -1

2)\textbf{2)} Derivamos ff e igualamos la derivada a cero para buscar puntos críticos:

f(x)=4x(x21)2 f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}

Igualamos a cero y despejamos:

4x(x21)2=0\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0
x=0 x = 0

Por lo tanto, ff tiene un punto crítico en x=0x=0 Y ahora ojo acá. Como el Teorema de Weierstrass no vale\textbf{no vale} en este ejercicio, no podemos hacer lo que veníamos haciendo de evaluar el punto crítico y los extremos del intervalo en ff, porque nada nos asegura la existencia de máximo y mínimo absoluto... De hecho, no lo va a haber no? Porque la función en las asíntotas verticales se está disparando hacia ++\infty y -\infty, lo ves?

3)\textbf{3)} Dividimos la recta real en intervalos donde ff' es continua y no tiene raices, y evaluamos el signo de f(x)f'(x) en cada una:
a) [2,1)[-2, -1): ff' es positiva, por lo tanto ff es creciente b) (1,0)(-1,0): ff' es positiva, por lo tanto ff es creciente c) (0,1)(0,1): ff' es negativa, por lo tanto ff es decreciente d) (1,3)(1,3): ff' es negativa, por lo tanto ff es decreciente
 
Por el comportamiento de ff, podemos ver que nuestro punto crítico x=0x=0 es un máximo, pero es un máximo relativo (porque la función puede llegar a valer muuuucho más que lo que vale en ese punto)

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